Violympic toán 6

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Ngọc Cương

Cho \(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2014^2}+\dfrac{1}{2015^2}+\dfrac{1}{2016^2}\). Chứng minh rằng: A không phải là số tự nhiên


bảo nam trần
6 tháng 4 2017 lúc 16:39

Ta thấy A > 0 (1)

\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1.2};\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3};...;\dfrac{1}{2016^2}< \dfrac{1}{2015.2016}\)

\(\Rightarrow A< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{2015.2016}\)

\(\Rightarrow A>1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016}=1-\dfrac{1}{2016}=\dfrac{2015}{2016}< 1\)(2)

Từ (1)(2) => 0 < A < 1

Vậy A không phải là số tự nhiên

Nam Nguyễn
14 tháng 5 2017 lúc 18:39

Giải:

Ta có: \(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2016^2}>0_{\left(1\right)}.\) (do A là phân số dương).

Ta lại có:

\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{2016^2}.\)

\(=\dfrac{1}{2.2}+\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+...+\dfrac{1}{2016.2016}.\)

\(< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2015.2016}.\)

\(< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016}.\)

\(< 1+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)+...+\left(\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2015}\right)-\dfrac{1}{2016}.\)\(< 1+0+0+0+...+0-\dfrac{1}{2016}.\)

\(< 1-\dfrac{1}{2016}.\)

\(< \dfrac{2015}{2016}.\)

\(\Rightarrow A< 1_{\left(2\right)}.\) (do \(\dfrac{2015}{2016}< 1\)).

Từ \(_{\left(1\right)}\)\(_{\left(2\right)}\) \(\Rightarrow0< A< 1.\)

\(\Rightarrow A\) không phải là số tự nhiên.

Vậy ta thu được \(đpcm.\)

~ Học tốt!!! ~


Các câu hỏi tương tự
khong có
Xem chi tiết
Lê Thị Duyên
Xem chi tiết
dream XD
Xem chi tiết
Ngô Bá Thành
Xem chi tiết
Alan Walker
Xem chi tiết
Công Chúa  Lạnh Lùng
Xem chi tiết
dream XD
Xem chi tiết
Nguyệt Nguyệt
Xem chi tiết
The Last Legend
Xem chi tiết