Cho a,b,c,d,e \(\in\)\(R\) . Chứng minh các BĐT sau:
a/ a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ca
b/ a2 + b2 +1 \(\ge\) ab + a + b
c/ a2 + b2 +c2 + 3 \(\ge\) 2( a + b + c)
d/ a2 + b2 + c2 \(\ge\) 2( ab + bc - ca)
e/ a4 + b4 + c2 +1 \(\ge\) 2a( ab2 - a +c +1)
f/ \(\dfrac{a^2}{4}\)+ b2 + c2 \(\ge\) ab - ac +2bc
g/ a2 (1+b2) + b2 (1+c2) +c2 (1+a2) \(\ge\) 6abc
h/ a2 +b2+ c2+ d2+ e2 \(\ge\) a(b+c+d+e)
i/ \(\dfrac{1}{a}\)+ \(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{c}\) \(\ge\) \(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)+\(\dfrac{1}{\sqrt{bc}}\)+\(\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\) , (a,b,c > 0)
j/ a+b+c \(\ge\) \(\sqrt{ab}\)+\(\sqrt{bc}\)+\(\sqrt{ca}\) ( a,b,c \(\ge\)0)
a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức khi \(a=b=c\)
b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức khi \(a=b=1\)
Các bài tiếp theo tương tự :v
g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)
i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm
j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm
