Question

cho a,b,c>0 và \(a+b+c\le3\)

Cmr: \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2018}{ab+bc+ca}\ge672\)

Answer 1

\(VT=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{2016}{ab+bc+ca}\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) và BĐT \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ta được :

\(VT\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{2016}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\ge\frac{9}{3^2}+\frac{2016}{3}=673\)

Vậy đẳng thức đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=1\)