Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thu Hương

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c\(\le\)3

CMR:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\ge\dfrac{3}{2}\)

(Sử dụng Cauchy)

Trịnh Seiyuu
4 tháng 5 2018 lúc 23:23

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(A=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\)

\(A\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{3+ab+bc+ac}=\dfrac{9}{3+ab+bc+ac}\)

Mặt khác,theo hệ quả AM-GM: \(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le\dfrac{3^2}{3}=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ac}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Hương
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Gallavich
Xem chi tiết
Trần Hoàng Đạt
Xem chi tiết
Thánh cao su
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Hương
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Hương
Xem chi tiết