Question

Cho △ABC vuông tại A. M là trung điểm của BC. Chứng minh: AM = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

Answer 1

Trên tia đối của MA lấy D sao cho MA = MD

Xét \(\Delta AMB;\Delta MDC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}AM=MD\\\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\\MB=MC\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta AMB=\Delta DMC\left(c-g-c\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAM}=\widehat{MDC}\)

Mà đây là 2 góc so le trong

\(\Leftrightarrow AB\backslash\backslash BC\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAC}+\widehat{ACD}=180^0\) (trong cùng phía)

\(\Leftrightarrow\widehat{ACD}=90^0\)

Xét \(\Delta BAC;\Delta DAC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\\ACchung\\AB=DC\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta BAC=\Delta DCA\left(c-g-c\right)\)

\(\Leftrightarrow BC=DA\)

Mà \(AM=\dfrac{1}{2}AD\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}BC=AM\left(đpcm\right)\)

Answer 2

có M là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.
Ta có:
ےAMB = ےNMC (đối đỉnh)
BM = CM (giả thiết)
MA = MN (dựng hình)
Suy ra: ∆MAB = ∆MNC (c.g.c)
Suy ra: NC = AB và ےMBA = ےMCN
Do ےMBA = ےMCN nên AB // NC
Suy ra ےBAC + ےACN = 180^o
Ta có: ےBAC = 90o nên ےACN = 90^o
=> ∆ABC = ∆CNA (c.g.c) vì AC là cạnh chung
AB = NC (cmt) và ےBAC = ےACN = 90^o
=> AN = BC
=> AM = ½ BC