Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
做当当

Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB=3, AC=4

a) Tính AH, BH?

b) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn (A, AH)

c) Kẻ tiếp tuyến BI và CK với đường tròn (A, AH) (I, K là tiếp điểm). Chứng minh: 

1, BC=BI+CK

2) I, A, K thẳng hàng

Nguyễn Lê Phước Thịnh
4 tháng 1 2021 lúc 22:20

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được: 

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{16}{144}+\dfrac{9}{144}=\dfrac{25}{144}\)

\(\Leftrightarrow AH^2=\dfrac{144}{25}\)

hay \(AH=\dfrac{12}{5}=2.4\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được: 

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(\Leftrightarrow BH^2=AB^2-AH^2=3^2-2.4^2=3.24\)

hay BH=1,8

Vậy: AH=2,4; BH=1,8

b) Xét (A;AH) có 

AH là bán kính

CH⊥AH tại H(gt)

Do đó: CH là tiếp tuyến của (A;AH)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

hay CB là tiếp tuyến của (A;AH)(đpcm)

c) 

1) Xét (A) có 

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

CK là tiếp tuyến có K là tiếp điểm(gt)

Do đó: CH=CK(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét (A) có 

AH là bán kính

BH⊥AH tại H(gt)

Do đó: BH là tiếp tuyến của (O)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)

Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

Do đó: BH=BI(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

mà BH=BI(cmt)

và CH=CK(cmt)

nên BC=BI+CK(đpcm)

2) Xét (A) có 

BH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

Do đó: AB là tia phân giác của \(\widehat{HAI}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(\widehat{HAI}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Xét (A) có 

CK là tiếp tuyến có K là tiếp điểm(gt)

CH là tiếp tuyến có H là tiếp điểm(cmt)

Do đó: AC là tia phân giác của \(\widehat{HAK}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(\widehat{HAK}=2\cdot\widehat{CAH}\)

Ta có: \(\widehat{KAI}=\widehat{KAH}+\widehat{IAH}\)(tia AH nằm giữa hai tia AK,AI)

mà \(\widehat{HAI}=2\cdot\widehat{HAB}\)(cmt)

và \(\widehat{HAK}=2\cdot\widehat{CAH}\)(cmt)

nên \(\widehat{KAI}=2\cdot\widehat{HAB}+2\cdot\widehat{HAC}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{KAI}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{KAI}=2\cdot90^0=180^0\)

hay K,A,I thẳng hàng(đpcm)


Các câu hỏi tương tự
KYAN Gaming
Xem chi tiết
Music Hana
Xem chi tiết
15 - 9/9 Nguyễn Huỳnh Hà...
Xem chi tiết
Quốc Huy
Xem chi tiết
nguyen thi hoa trinh
Xem chi tiết
Phương Thùy
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Thảo Nguyên
Xem chi tiết
KYAN Gaming
Xem chi tiết
Hoàng Việt Hà
Xem chi tiết