Trên BC lấy D sao cho AB = BD
Từ D kẻ DE vuông góc với AC
Xét \(\Delta ABD\) có :
\(AB=BD\)
\(\Leftrightarrow\Delta ABD\) cân tại B
\(\Leftrightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)
Lại có :
\(\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=\widehat{BAC}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BDA}+\widehat{DAC}=\widehat{BAC}\)
Mà \(\widehat{BAC}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BDA}+\widehat{DAC}=90^0\left(1\right)\)
Xét \(\Delta DEA\) có : \(\widehat{E1}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{ADE}+\widehat{CAD}=90^0\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\widehat{BAD}=\widehat{ADE}\)
Chứng minh : \(\Delta ABH=\Delta EAD\left(ch-gn\right)\)
\(\Leftrightarrow AH=AE\)
Xét \(\Delta DEC\) có : \(\widehat{E2}=90^0\)
\(EC< DC\)
\(\Leftrightarrow AE+EC+BD< DC+EC+BD\)
Mà \(AE+EC=AC;DC+BD=BC\)
\(\Leftrightarrow AC+BD< CE+BC\)
Mà \(BD=AB;CE=AH\)
\(\Leftrightarrow AC+AB< BC+AH\left(đpcm\right)\)
Có cách ngắn hơn đó Hằng:v \(BC+AH>AB+AC\Leftrightarrow\left(BC+AH\right)^2>\left(AB+AC\right)^2\) \(\Rightarrow BC^2+AH^2+2AH.BC>AB^2+AC^2+2AB.AC\) Áp dụng Pytago và tích chất diện tích tam giác vuông: \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2+AC^2=BC^2\\S_{ABC}=\dfrac{AH.BC}{2}=\dfrac{AB.AC}{2}\Leftrightarrow2AH.BC=2AB.AC\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow AH^2>0\) (đúng).Lưu ý đây là cạnh tam giác nên dấu "=" k xảy ra
