Question

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam gaics. Chứng minh rằng:

\(a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\le a^3+b^3+c^3+3abc\) ?

Answer 1

\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\) (1)

\(\Leftrightarrow a^3-a^2\left(b+c\right)+abc+b^3-b^2\left(c+a\right)+abc+c^3-c^2\left(a+b\right)+abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a^2-ab-ac+bc\right)+b\left(b^2-bc-ba+ac\right)+c\left(c^2-ca-cb+ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b\left(b-a\right)\left(b-c\right)+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\) đúng

\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow\Delta ABC\) đều