Question

Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn \(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}=\frac{2c}{b+c}\). Chứng minh bc là một số chính phương

Answer 1

\(\frac{1}{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}+\frac{1}{1+\left(\frac{a}{c}\right)^2}=\frac{2}{\frac{b}{c}+1}\)

Đặt \(\left(\frac{b}{a};\frac{a}{c}\right)=\left(x;y\right)\)

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{2}{1+xy}\)

Một đẳng thức có vẻ quen, biến đổi tương đương nó sẽ được:

\(\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}xy=1\\x=y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{b}{c}=1\\\frac{b}{a}=\frac{a}{c}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=c\\bc=a^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}bc=b^2\\bc=a^2\end{matrix}\right.\)

Answer 2

@Nguyễn Việt Lâm