Với \(a+b+c=4;a,b,c>0\)
Ta đi chứng minh: \(a+b\ge abc\)
Thật vậy:
Áp dụng BĐT: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\forall x,y\) ta có:
\(16\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)^2\ge\left(a+b\right)4\left(a+b\right)c=4c\left(a+b\right)^2\ge16abc\)
\(\Rightarrow a+b\ge abc\)
Chứng minh tương tự: \(b+c\ge abc;c+a\ge abc\)
Khi đó: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(abc\right)^3\)
Dấu "=" sảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Cho a,b,c là các số thực dương CMR : \(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b}{\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}\)
Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn abc = 1
Chứng minh
\(\dfrac{a^3}{\left(b+2\right)\left(c+3\right)}+\dfrac{b^3}{\left(c+2\right)\left(a+3\right)}+\dfrac{c^3}{\left(a+2\right)\left(b+3\right)}\ge\dfrac{1}{4}\)
Cho a + b + c = 1 và a,b,c là các số thực dương. CMR: \(\left(ab+c^2\right)\left(bc+a^2\right)\left(ca+b^2\right)\ge abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Cho a,b,c dương và abc=1
CMR: \(\frac{a^4}{2\left(b+c\right)^2}+\frac{b^4}{2\left(a+c\right)^2}+\frac{c^4}{2\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{c^2\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{1}{b^2\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{1}{a^2\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{8}\)
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR
\(\dfrac{a^2}{\left(ab+2\right)\left(2ab+1\right)}+\dfrac{b^2}{\left(bc+2\right)\left(2bc+1\right)}+\dfrac{c^2}{\left(ca+2\right)\left(2ca+1\right)}\)\(\ge\)\(\dfrac{1}{3}\)
Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 CMR:
\(\dfrac{a^4}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}+\dfrac{b^4}{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}+\dfrac{c^4}{\left(c+2\right)\left(a+2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
cho a,b,c dương thỏa mãn \(a+b+c=5\) và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). CMR: \(\dfrac{\sqrt{a}}{a+2}+\dfrac{\sqrt{b}}{b+2}+\dfrac{\sqrt{c}}{c+2}=\dfrac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
cho ba số thực dương a b c thỏa mãn abc=1 . cmr : \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge9\left(a+b+c\right)\)
