Question

Cho a,b,c là 3 số nguyên dườn thoả mãn đk a+b+c=1. Tìm gtnn của A. Biết A = \(\frac{\left(a+1\right).\left(b+1\right).\left(c+1\right)}{\left(1-a\right).\left(1-b\right).\left(1-c\right)}\)

Answer 1

Lời giải:

Thay $1=a+b+c$ ta có:

\(A=\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{(1-a)(1-b)(1-c)}=\frac{(a+a+b+c)(b+a+b+c)(c+a+b+c)}{(a+b+c-a)(a+b+c-b)(a+b+c-c)}\)

\(=\frac{(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\(2a+b+c=(a+b)+(a+c)\geq 2\sqrt{(a+b)(a+c)}\)

\(a+2b+c=(b+c)+(b+a)\geq 2\sqrt{(b+c)(b+a)}\)

\(a+b+2c=(c+a)+(c+b)\geq 2\sqrt{(c+a)(c+b)}\)

Nhân theo vế:

\(\Rightarrow (2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)\geq 8(a+b)(b+c)(c+a)\)

Do đó: \(A\geq \frac{8(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=8\)

Vậy GTNN của $A$ là $8$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$