Vì \(\Delta ABC\) cân tại A
\(\Rightarrow\) AB = AC; \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
hay \(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)
Xét \(\Delta EBC\) vuông tại E và \(\Delta DCB\) vuông tại D có:
BC chung
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) (c/m trên)
\(\Rightarrow\Delta EBC=\Delta DCB\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow EB=DC\) (2 cạnh t/ư)
Ta có: AE + EB = AB
AD + DC = AC
mà EB = DC; AB = AC
\(\Rightarrow AE=AD\)
Xét \(\Delta\)AEK vuông tại E và \(\Delta ADK\) vuông tại D có:
AK chung
AE = AD
\(\Rightarrow\Delta AEK=\Delta ADK\left(cgv-ch\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{EAK}=\widehat{DAK}\) (2 góc t/ư)
Do đó AK là tia pg của \(\widehat{A}.\)
Xét t/g AEC vuông tại E và t/g ADB vuông tại D có:
AC = AB (do t/g ABC cân tại A)
CAE là hóc chung
Do đó, t/g AEC = t/g ADB ( cạnh huyền - góc nhọn)
=> AE = AD (2 cạnh tương ứng)
Xét t/g ADK vuông tại D và t/g AEK vuông tại E có:
AK là cạnh chung
AD = AE (cmt)
Do đó, t/g ADK = t/g AEK ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> DAK = EAK (2 góc tương ứng)
=> AK là phân giác BAC (đpcm)
