Ta có \(A=\left(a+b\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}\right)\)
\(=\left(a+b\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\right)\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A\ge\left(a+b\right)^2\left(\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{2ab}\right)\)\(=4+\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}\ge4+\frac{4ab}{2ab}=4+2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Vậy...........
Cho biểu thức
\(P=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2}{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}\)(với a>0,b>0 và a khác b
1, CM \(P=\frac{1}{ab}\)
2, Giả sử a,b thay đổi sao cho \(4a+b+\sqrt{ab}=1\). Tìm GTNN của P
a+b+c = 4 ; a,b,c >0
Tìm GTNN của :
\(\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^4}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^4}{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)}\)
Cho ab;c>0.Tìm GTNN của \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}\)
a)cho a,b>0. CM : 9 (1+a)(1+b)\(\ge\)\(\left(1+\sqrt{ab}\right)^2\)
b)với a,b>0. Tìm GTNN của biểu thức: M=\(\left(1+a\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{b}}\right)^2\)
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 0<a, b, a<1 và ab + bc + ca = 1. Tìm GTNN của
P=\(\frac{a^2\left(1-2b\right)}{b}+\frac{b^2\left(1-2c\right)}{c}+\frac{c^2\left(1-2a\right)}{a}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm GTNN của biểu thức
\(Q=\frac{\left(1-c\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}+\frac{\left(1-a\right)^2}{\sqrt{2\left(c+a\right)^2+ca}}+\frac{\left(1-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a+b\right)^2+ab}}\)
Cho a,b,c > 0 ;a+b+c = 3
tìm GTNN P = \(\sqrt{\frac{9}{\left(a+b\right)^2}+c^2}\)\(+\sqrt{\frac{9}{\left(c+b\right)^2}+a^2}+\sqrt{\frac{9}{\left(a+c\right)^2}+b^2}\)
a ) \(\sqrt{\frac{a^2}{b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^2}{c^2+\left(a+b\right)^2}}+\sqrt{\frac{c^2}{a^2+\left(b+c\right)^2}}\le\frac{3}{\sqrt{5}}\)
với a,b,c là các số thực dương
b ) cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. tìm GTNN của biểu thức
\(P=\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}+\frac{\left(1+b\right)^2+c^2+5}{bc+b+4}+\frac{\left(1+c\right)^2+a^2+5}{ca+c+4}\)
1. cho \(0< a\le b\le c\) . Cmr: \(\frac{2a^2}{b^2+c^2}+\frac{2b^2}{c^2+a^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
2. cho \(a,b,c\ge0\). cmr: \(a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
3. \(a,b,c>0.\) Cmr: \(\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\)
4. \(a,b,c>0\). Tìm Min \(P=\left(\frac{a}{a+b}\right)^4+\left(\frac{b}{b+c}\right)^4+\left(\frac{c}{c+a}\right)^4\)
