Question

Cho AB và CD là hai đường kính của đường tròn (O) vuông góc nhau. Lấy điểm E thuộc cung nhỏ BC (E khác B,C). Tia CE cắt AB tại K. Gọi I là giao điểm của ED và AB.

a/ Chứng minh EA là phân giác của góc CED

b/ Chứng minh tứ giác OEKD nội tiếp được một đường tròn

c/ Chứng minh OD^2 = OK.OI

Answer 1

a) Ta có đường kính CD⊥AB⇒AB đi qua điểm chính giữa cung CAD hay \(\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{AD}\)

Ta lại có \(\widehat{CEA}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{AC}\)

\(\widehat{AED}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{AD}\)

Suy ra \(\widehat{CEA}=\widehat{AED}\) hay EA là phân giác của \(\widehat{CED}\)

b) Ta có CD là đường kính \(\Rightarrow\widehat{CED}=90^0\)\(\Rightarrow\widehat{KED}=90^0\)

Và CD⊥AB\(\Rightarrow\widehat{DOE}=90^0\Rightarrow\widehat{DOK}=90^0\)

Suy ra \(\widehat{KED}=\widehat{DOK}=90^0\) hay tứ giác OEKD nội tiếp được một đường tròn

c) Ta có \(\widehat{OID}=\widehat{EIK}=90^0-\widehat{IKE}=\widehat{OCK}\Rightarrow\widehat{OID}=\widehat{OCK}\)

Xét △OCK và △OID có

\(\widehat{OID}=\widehat{OCK}\)

\(\widehat{KOD}=\widehat{DOI}=90^0\)

Suy ra △OCK \(\sim\) △OID(g-g)

\(\Rightarrow\frac{OC}{OI}=\frac{OK}{OD}\Rightarrow OC.OD=OI.OK\)

Mà OC=OD

Suy ra \(OD^2=OK.OI\)