Question

Cho a,b thuộc R. Chứng minh rằng: \(a^4-4ab^3+3b^4\ge0\)

Answer 1

\(VT=a^4-4ab^3+3b^4=a^4-ab^3-3ab^3+3b^4\)

\(=a\left(a^3-b^3\right)-3b^3\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a^3+a^2b+ab^2\right)-3b^3\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^3+a^2b+ab^2-3b^3\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left[a^3-b^3+a^2b-b^3+ab^2-b^3\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left[\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(ab+b^2\right)+b^2\left(a-b\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)^2\left(a^2+2ab+3b^2\right)\)

\(=\left(a-b\right)^2\left[\left(a+b\right)^2+2b^2\right]\ge0\) ;\(\forall a;b\)