Lời giải:
Từ \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\Rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=1\)
\(\Rightarrow a+b+2\sqrt{ab}=1\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(1=(a+b)+2\sqrt{ab}\geq 2\sqrt{(a+b).2\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow 1\geq 4(a+b).2\sqrt{ab}\) (bình phương 2 vế)
\(\Rightarrow \frac{1}{8}\geq (a+b)\sqrt{ab}\)
Ta cớ đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{4}\)
1. Cho a,b,c,d là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\)
2. Cho (x;y;z) và (a;b;c) là các số dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\)
3. Cho \(c>0\) và \(a,b\ge c\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{a+1}+\dfrac{\sqrt{b}}{b+1}+\dfrac{\sqrt{c}}{c+1}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cho a,b,c,d >0. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\)
Cho a, b>0. Chứng minh rằng:
a) \(\dfrac{3a^2+2ab+3b^2}{a+b}\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
b) \(\dfrac{2ab}{a+b}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\sqrt{ab}+\dfrac{a+b}{2}\)
c) \(\dfrac{1}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{1+ab}\)
cho a,b,c>0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le16\left(a+b+c\right)\). Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+2\sqrt{b+c}\right)^3}\le\frac{8}{9}\)
1. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\) . Chứng minh: \(ab\left(a+b\right)^2\le\dfrac{1}{64}\)
2. Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a^2+b^2\le2\) . Chứng minh: \(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le6\)
3. Cho \(a,b>0\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=2\) . Chứng minh: \(a+b\ge2\)
cho bốn số thực dương a,b,c,d chứng minh rằng \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\le\right)}\le\sqrt{ab}\)
cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1. CMR: \(P=\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\le\dfrac{3}{2}\)
Chứng minh rằng: \(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\) biết a; b; c là 3 số thực thoả mãn điều kiện a=b+1=c+2 ; c > 0
