Question

Cho a1, a2,.....,a2013nguyen và b1,b2,.....,b2013 là 1 hoán vị của các số a1,a2,....,a2013 .

cmr (a1-b1)(a2-b2).......(a2013-b2013) là số chẵn

Answer 1

Giả sử tích (a₁−b₁)(a₂−b₂)...(a₂₀₁₃−b₂₀₁₃) là số lẻ

Khi đó tất cả các hiệu (a₁−b₁,a₂−b(a1−b1,a2−b2,...,an−bn)">) lẻ
Mà có 2013 hiệu nên tổng các hiệu a₁−b₁+a₂−b₂+...+a₂₀₁₃−b₂₀₁₃ lẻ
Hay (a₁+a₂+...+a₂₀₁₃)−(b₁+b₂+...+b₂₀₁₃) lẻ . (*)
Mặt khác , theo đề ra ta có : (a₁+a₂+...+a₂₀₁₃)−(b₁+b₂+...+b₂₀₁₃) = 0 ( mâu thuẫn với *)
Vậy điều giả sử sai hay (a₁−b1)(a₂−b₂)...(a₂₀₁₃−b₂₀₁₃) là số chẵn

Answer 2

Thank you Tiểu Thư họ Nguyễn và Đặng Nhật Minh