Question

Cho a ϵ Z. Chứng tỏ \(A=\dfrac{a}{3}+\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^3}{6}\) là số nguyên

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(A=\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{2a+3a^2+a^3}{6}\)

Xét tử số:

\(a^3+3a^2+2a=a(a^2+3a+2)\)

\(=a[a(a+2)+(a+2)]\)

\(=a(a+1)(a+2)\)

Vì $a,a+1$ là hai số nguyên liên tiếp nên

\(a(a+1)\vdots 2\Rightarrow a(a+1)(a+2)\vdots 2\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a\vdots 2\) (1)

Mặt khác \(a,a+1,a+2\) là ba số nguyên liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho $3$

\(\Leftrightarrow a(a+1)(a+2)\vdots 3\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a\vdots 3\) (2)

Từ (1)(2) kết hợp với $(2,3)$ nguyên tố cùng nhau suy ra \(a^3+3a^2+2a\vdots 6\)

\(\Rightarrow A=\frac{a^3+3a^2+2a}{6}\in\mathbb{Z}\). Ta có đpcm.