Question

Cho a thuộc N, không là số chính phương. Chứng minh rằng : căn bậc hai của a là số vô tỉ

Answer 1

Giả sử căn a là một số hữu tỉ
=> \(\sqrt{a}=\dfrac{p}{q}\) , với (p,q)=1
=> \(a=\left(\dfrac{p}{q}\right)^2\)
=> \(a=\dfrac{p^2}{q^2}\)
=> \(a.q^2=p^2\)
=> a là số chính phương ( mâu thuẫn với đề bài a không là số chính phương)
do đó điều giả sử là sai
Vậy nếu a không là số chính phương thì căn n là số vô tỉ

Answer 2

Giả sử là số hữu tỉ .

Đặt [, và ]

Vì x² là 1 số chính phương nên a.y² viết được dưới dạng tích của các số với lũy thừa bằng 2

Mà x; y nguyên tố cùng nhau nên a viết được dưới dạng lũy thừa bằng 2 => a là số chính phương (trái với giả thiết)

=> Giả thiết này sai

=> là 1 số vô tỉ