Question

Cho A là một hợp số.Khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì A chỉ chứa 2 thừa số nguyên tố khác nhau đó là P1 và P2.Biết A^3 chỉ có 40 ước số tự nhiên.Hỏi A^2 có bao nhiêu ước.Gợi ý của cô giáo mình:A=P1^x*P2^y(x,y thuộc N*)

Answer 1

Đặt \(A=p_1^a.p_2^b\Rightarrow A^3=p_1^{3a}.p_2^{3b}\) và \(A^2=p_1^{2a}.p_2^{2b}\) (a, b \(\in\)N*)

Số ước số tự nhiên của \(A^3\) là \(\left(3a+1\right)\left(3b+1\right)\Rightarrow\left(3a+1\right)\left(3b+1\right)=40=4.10=5.8\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge1\\b\ge1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+1\ge4\\3b+1\ge4\end{matrix}\right.\) và vai trò của a, b là như nhau, ta có các trường hợp:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}3a+1=4\\3b+1=10\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=3\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}3a+1=5\\3b+1=8\end{matrix}\right.\Rightarrow\) không có a, b tự nhiên thỏa mãn

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=3\end{matrix}\right.\Rightarrow\) số ước tự nhiên của \(A^2\) là \(\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)=3.7=21\)