ta có a + b \(\ge1\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2\ge1-2ab\left(1\right)\)
ta lại có \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow4ab\le1\)
\(\Leftrightarrow2ab\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow1-2ab\ge\frac{1}{2}\left(2\right)\)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Ta có: \(a+b\ge1\Rightarrow a\ge1-b\Rightarrow a^2\ge b^2-2b+1\)
Nên \(a^2+b^2\ge b^2+b^2-2b+1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2b^2-2b+1=2\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(b=\frac{1}{2}\)
Vậy...............
