Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) với x,y > 0 ta được :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\Rightarrow2.\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !
P/s : Phải chứng minh BĐT trước khi sử dụng nhé, BĐT này chỉ cần chuyển vế quy đồng là được !
\( \dfrac{1}{{a + b - c}} + \dfrac{1}{{a - b + c}} \ge \dfrac{4}{{2a}} = \dfrac{2}{a}\\ \dfrac{1}{{a + b - c}} + \dfrac{1}{{b + c - a}} \ge \dfrac{2}{b}\\ \dfrac{1}{{a - b + c}} + \dfrac{1}{{b + c - a}} \ge \dfrac{2}{c}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{a + b - c}} + \dfrac{1}{{a - b + c}} + \dfrac{1}{{b + c - a}} \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \)
Phương pháp biến đổi tương đương:
Không mất tính tổng quát, giả sử b là số nhỏ nhất (\(a\ge b;c\ge b\))
\(VT-VP=\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}-\frac{2}{b}\right)+\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a}-\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{2\left(a-c\right)^2}{b\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}+\frac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a+c\right)}{abc\left(c+a-b\right)}\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/s: Đây là phương pháp S-S.
Nếu Đặt p là nửa chu vi => p = (a + b + c)/2 => 2p = a + b + c
=> p - a = (a + b + c)/2 - a
=> p - a = (b + c + a - 2a)/2
=> p - a = (b + c - a)/2
=> 2(p - a) = b + c - a (1)
Tương tự ta chứng minh được:
2(p - b) = a + c - b (2)
2(p - c) = a + b - c (3)
Từ (1); (2) và (3) => 1/(a + b - c) + 1/(b +c - a) +1/(c +a - b)
= 1/[ 2(p - c) ] + 1/[ 2(p - a) ] + 1/[ 2(p - b) ]
=1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ]
Bây giờ ta đã đưa bài toán về chứng minh
1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c
Ta có: (x - y)² ≥ 0
<=> x² - 2xy + y² ≥ 0
<=> x² - 2xy + y² + 4xy ≥ 4xy
<=> x² + 2xy + y² ≥ 4xy
<=> (x + y)² ≥ 4xy
=> với x + y ≠ 0 và xy ≠ 0
=> (x + y)²/(x+ y) ≥ 4xy/(x + y)
=> (x + y) ≥ 4xy/(x + y)
=> (x + y)/xy ≥ (4xy)/[xy(x + y)]
=> 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) (*)
Áp dụng (*) với x = p - a và y = p - b ta được:
1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(p - a + p - b)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(2p - a - b)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(a + b + c - a - b)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/c (4)
Chứng minh tương tự ta được:
1/(p - a) + 1/(p - c) ≥ 4/b (5)
1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/a (6)
Cộng vế với vế của (4);(5) và (6) ta được:
1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - a) + 1/(p - c) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/c + 4/b + 4/a
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4/c + 4/b + 4/a
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4(1/a + 1/b + 1/c)
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 2(1/a + 1/b + 1/c)
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/2.( 2(1/a + 1/b + 1/c) )
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c
Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c.
