Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} 2a+b=x^2\\ 2b+c=y^2\\ 2c+a=z^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=3(a+b+c)\vdots 3\)
Vì một trong 3 số chính phương kể trên chia hết cho 3 nên giả sử \(2c+a=z^2\vdots 3\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\vdots 3\) (*)
Ta biết rằng một số chính phương khi chia 3 có dư 0 hoặc 1
Do đó Nếu \(x^2,y^2\) đều không chia hết cho 3 thì \(x^2+y^2\) chia 3 có thể có dư là 1,2 (trái với (*))
Từ đây suy ra \(x^2\vdots 3; y^2\vdots 3\).
Vậy \(x^2, y^2,z^2\vdots 3\) (1)
\(\Rightarrow x,y,z\vdots 3\) (do 3 là số nguyên tố)
\(\Rightarrow x^2, y^2,z^2\vdots 9\)
\(\Rightarrow 3(a+b+c)=x^2+y^2+z^2\vdots 9\Rightarrow a+b+c\vdots 3\) (2)
Từ (1);(2) suy ra:
\(\left\{\begin{matrix} x^2-(a+b+c)\vdots 3\\ y^2-(a+b+c)\vdots 3\\ z^2-(a+b+c)\vdots 3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-c\vdots 3\\ b-a\vdots 3\\ c-b\vdots 3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (a-c)(b-a)(c-b)\vdots 27\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(c-a)\vdots 27\)
Ta có đpcm.
