Question

Cho \(a\), \(b\), \(c\) là 3 số thực không âm thỏa mãn: \(a+b+c=3\)
Tìm GTNN của biểu thức: \(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\)
(mong mọi người giúp em bằng cách chứng minh dễ nhất với các bđt quen thuộc vd côsi, bunhia...., trừ khi nếu không thể ạ) Em cảm ơn ạ!

 

Answer 1

Ta có \(3a+1\ge\left(\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\right)^2\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0\) (luôn đúng)

Do đó \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\).

Tương tự, \(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}b+1;\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}c+1\).

Do đó \(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\ge\sqrt{10}+2\).

Dấu "=" xảy ra khi chẳng hạn a = 3; b = c = 0

Answer 2

Tham khảo:

https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=219071991005&q=Cho%203%20s%E1%BB%91%20th%E1%BB%B1c%20kh%C3%B4ng%20%C3%A2m%20a%2Cb%2Cc%20v%C3%A0%20a%20b%20c%3D3%20T%C3%ACm%20GTLN%20v%C3%A0%20GTNN%20c%E1%BB%A7a%20bi%E1%BB%83u%20th%E1%BB%A9c%20K%3D%5C%28%5Csqrt%7B3a%201%7D%20%5Csqrt%7B3b%201%7D%20%5Csqrt%7B3c%201%7D%5C%29