Câu hỏi của Ánh Dương

Question

1.Rút gọn $a+1=\sqrt[4]{\frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}}-\sqrt[4]{\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}}$

2. cho a, b là các số thực thỏa mãn a+b=5, ab=1 tính $a^3+b^3$

3. cho m, n nguyên chứng minh m...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

1/ $a+1=\sqrt[4]{\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}-\sqrt[4]{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}-\sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}$

$=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

2/ $a+b=5\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=125$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=125$

$\Rightarrow a^3+b^3=125-3ab\left(a+b\right)=125-3.1.5=110$

3/ $mn\left(mn+1\right)^2-\left(m+n\right)^2.mn$

$=mn\left(\left(mn+1\right)^2-\left(m+n\right)^2\right)$

$=mn\left(mn+1-m-n\right)\left(mn+1+m+n\right)$

$=mn\left(m-1\right)\left(n-1\right)\left(m+1\right)\left(n+1\right)$

$=\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$

Do $\left(m-1\right)m\left(m+1\right)$ và $\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$ đều là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chúng đều chia hết cho 3 $\Rightarrow$ tích của chúng chia hết cho 36Câu trả lời: 1/ $a+1=\sqrt[4]{\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}-\sqrt[4]{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}-\sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}$

$=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

2/ $a+b=5\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=125$

$\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=125$

$\Rightarrow a^3+b^3=125-3ab\left(a+b\right)=125-3.1.5=110$

3/ $mn\left(mn+1\right)^2-\left(m+n\right)^2.mn$

$=mn\left(\left(mn+1\right)^2-\left(m+n\right)^2\right)$

$=mn\left(mn+1-m-n\right)\left(mn+1+m+n\right)$

$=mn\left(m-1\right)\left(n-1\right)\left(m+1\right)\left(n+1\right)$

$=\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$

Do $\left(m-1\right)m\left(m+1\right)$ và $\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$ đều là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chúng đều chia hết cho 3 $\Rightarrow$ tích của chúng chia hết cho 36

Nguyễn Việt Lâm · Answer

4/

Do $0\le x\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\x-1\le0\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow x\left(x-1\right)\le0$

$\Leftrightarrow x^2-x\le0\Leftrightarrow x^2\le x$

Dấu "=" xảy ra khi $\left[{}\begin{matrix}x=0\x=1\end{matrix}\right.$

5/ Đặt $\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5a+4}=x\\sqrt{5b+4}=y\\sqrt{5c+4}=z\end{matrix}\right.$

Do $a+b+c=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1$

$\Rightarrow2\le x;y;z\le3$ và $x^2+y^2+z^2=5\left(a+b+c\right)+12=17$

Khi đó ta có:

Do $2\le x\le3\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0$

$\Leftrightarrow x^2-5x+6\le0\Leftrightarrow x\ge\frac{x^2+6}{5}$

Tương tự: $y\ge\frac{y^2+6}{5}$ ; $z\ge\frac{z^2+6}{5}$

Cộng vế với vế:

$A=x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+18}{5}=\frac{17+18}{5}=7$

$\Rightarrow A_{min}=7$ khi $\left(x;y;z\right)=\left(2;2;3\right)$ và các hoán vị hay $\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)$ và các hoán vịCâu trả lời: 4/