Câu hỏi của Nguyễn Uyên

Question

cho a, b, c là 3 số thực dương. cmr $\frac{a^2}{b^2c}+\frac{b^2}{c^2a}+\frac{c^2}{a^2b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:

$\text{BĐT}\Leftrightarrow \frac{\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}}{abc}\geq\frac{ab+bc+ac}{abc}$

$\Leftrightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ac$ $(\star)$

Điều này hiển nhiên đúng vì theo Cauchy-SChwarz kết hợp AM-GM:

$\text{VT}_{\star}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq ab+bc+ac$

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$Câu trả lời: Lời giải:

$\text{BĐT}\Leftrightarrow \frac{\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}}{abc}\geq\frac{ab+bc+ac}{abc}$

$\Leftrightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ac$ $(\star)$

Điều này hiển nhiên đúng vì theo Cauchy-SChwarz kết hợp AM-GM:

$\text{VT}_{\star}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq ab+bc+ac$

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

§1. Bất đẳng thức