Câu hỏi của Pool Tran

Question

1. Cho a,b,c >0 thỏa a2+b2+c2=3 CMR:$\frac{a^2b^2}{c}+\frac{b^2c^2}{a}+\frac{a^2c^2}{b}>=3$$\frac{a^3b^3}{c}+\frac{b^3c^3}{a}+\frac{a^3c^3}{b}>=3abc$

Akai Haruma · Accepted Answer

BĐT 1 sai ngay với $a=\sqrt{0,1},b=\sqrt{0,2},c=\sqrt{2,7}$

BĐT 2 tương đương với đi chứng minh $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq 3a^2b^2c^2$

Áp dụng BĐT AM-GM: $a^4b^4+b^4c^4\geq 2a^2b^4c^2$

Tương tự $b^4c^4+c^4a^4\geq 2b^2c^4a^2,a^4b^4+c^4a^4\geq 2a^4b^2c^2$

Cộng theo vế và rút gọn:

$\Rightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)=3a^2b^2c^2$

Do đó ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$Câu trả lời: BĐT 1 sai ngay với $a=\sqrt{0,1},b=\sqrt{0,2},c=\sqrt{2,7}$

BĐT 2 tương đương với đi chứng minh $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq 3a^2b^2c^2$

Áp dụng BĐT AM-GM: $a^4b^4+b^4c^4\geq 2a^2b^4c^2$

Tương tự $b^4c^4+c^4a^4\geq 2b^2c^4a^2,a^4b^4+c^4a^4\geq 2a^4b^2c^2$

Cộng theo vế và rút gọn:

$\Rightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)=3a^2b^2c^2$

Do đó ta có đpcm. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

§1. Bất đẳng thức