Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nguyen ha giang

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn abc=1 . Chứng minh rằng :

1/a3(b+c) + 1/b3(c+a) +1/c3(a+b) \(\ge\) 3/2.

Các bn giúp mk vs. Mk cần gấp huhu.

Nguyễn Việt Lâm
15 tháng 6 2019 lúc 7:08

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\)

\(P=\frac{1}{\frac{1}{x^3}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}+\frac{1}{\frac{1}{y^3}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)}+\frac{1}{\frac{1}{z^3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}\)

\(P=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3xz}{x+z}+\frac{z^3xy}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Kamato Heiji
Xem chi tiết
Bách Bách
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Quang
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
Naruto Uzumaki
Xem chi tiết
Qynh Nqa
Xem chi tiết
Gallavich
Xem chi tiết
Tranh Diệp Phi
Xem chi tiết