Question

Cho 7x²+8xy+7y²=10. Tìm Max, Min: x²+y²

Answer 1

Ta có: \(7x^2+8xy+7y^2=10\)

\(\Rightarrow4x^2+8xy+4y^2+3x^2+3y^2=10\)

\(\Rightarrow4\left(x+y\right)^2+3\left(x^2+y^2\right)=10\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2\right)=10-4\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow S_{Max}=x^2+y^2=\dfrac{10-4\left(x+y\right)^2}{3}\le\dfrac{10}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=-y\)

Ta có: \(x^2+y^2\ge2xy\forall x,y\) đẳng thức xảy ra khi \(x=y\)

Thay vào \(7x^2+8xy+7y^2=10\) ta có:

\(7x^2+8x^2+7x^2=10\)

\(\Rightarrow22x^2=10\Rightarrow x^2=\dfrac{10}{22}\Rightarrow y^2=\dfrac{10}{22}\)

Khi đó \(S_{Min}=\dfrac{10}{22}+\dfrac{10}{22}=\dfrac{10}{11}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y\)