Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Anh Đỗ Nguyễn Thu

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2\le3\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(H=\frac{y}{x^2+2y+3}+\frac{z}{y^2+2z+3}+\frac{x}{z^2+2x+3}\)

Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 5 2020 lúc 15:09

\(H=\sum\frac{y}{x^2+1+2y+2}\le\sum\frac{y}{2x+2y+2}=\frac{1}{2}\sum\frac{y}{x+y+1}\)

Ta sẽ chứng minh \(H\le\frac{1}{2}\) hay \(\frac{y}{x+y+1}+\frac{z}{y+z+1}+\frac{x}{z+x+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x+y+1}+\frac{y+1}{y+z+1}+\frac{z+1}{z+x+1}\ge2\)

Thật vậy, ta có:

\(VT=\frac{\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x+y+1\right)}+\frac{\left(y+1\right)^2}{\left(y+1\right)\left(y+z+1\right)}+\frac{\left(z+1\right)^2}{\left(z+1\right)\left(z+x+1\right)}\)

\(VT\ge\frac{\left(x+y+z+3\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x+y+1\right)+\left(y+1\right)\left(y+z+1\right)+\left(z+1\right)\left(z+x+1\right)}\)

\(VT\ge\frac{\left(x+y+z+3\right)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+3x+3y+3z+3}=\frac{\left(x+y+z+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)+xy+yz+zx+3x+3y+3z+3+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(VT\ge\frac{\left(x+y+z+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+3+\frac{3}{2}}=\frac{\left(x+y+z+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+\frac{9}{2}}\)

\(VT\ge\frac{\left(x+y+z+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(x+y+z+3\right)^2}=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Anh Đỗ Nguyễn Thu
Xem chi tiết
Tình Nguyễn Hữu
Xem chi tiết
CAO Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
Lê Mai Hương
Xem chi tiết
CAO Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
Lê Mai Hương
Xem chi tiết
Tùng
Xem chi tiết
Vinne
Xem chi tiết
dam thu a
Xem chi tiết