Question

Cho 3 điểm A(2;0), B(4,1);C(1,2) lập thành 3 đỉnh tam giác

a Viết pt tổng quát các đường cao AH, BH từ đó tìm tọa độ trực tâm tam giác

b pt dg trung tuyến AM của tam giác

c pt tổng quát dg trung bình MN của tam giác ABC vs M là trung điểm AB, N là trung điểm AC

d pt dg trung trực của AB,AC từ đó tìm ra tọa độ tâm dg tròn ngoại tiếp tam giác ABC

e tính góc B của tam giác ABC

Answer 1

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)\) ; \(\overrightarrow{CA}=\left(1;-2\right)\) ; \(\overrightarrow{CB}=\left(3;-1\right)\)

a/ AH vuông góc BC nên AH nhận (3;-1) là 1 vtpt

Phương trình AH:

\(3\left(x-2\right)-1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow3x-y-6=0\)

BK vuông góc AC nên BK nhận (1;-2) là 1 vtpt

Phương trình BK:

\(1\left(x-4\right)-2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-2y-2=0\)

Trực tâm H là giao điểm của AH và BK nên tọa độ là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y-6=0\\x-2y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=0\end{matrix}\right.\)

Answer 2

b/ Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(1;3\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng AM nhận \(\left(3;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AM:

\(3\left(x-2\right)-1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow3x-y-6=0\)

c/N là trung điểm AC nên \(N\left(\frac{3}{2};1\right)\)

Đường thẳng MN song song BC nên nhận \(\left(1;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình MN:

\(1\left(x-\frac{3}{2}\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+3y-\frac{9}{2}=0\)

Answer 3

d/ Gọi P là trung điểm AB \(\Rightarrow P\left(3;\frac{1}{2}\right)\)

Trung trực của AB vuông góc AB nên nhận (2;1) là 1 vtpt

Phương trình trung trực AB:

\(2\left(x-3\right)+1\left(y-\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow4x+2y-13=0\)

Trung trực AC qua N và vuông góc AC nên nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt

Pt trung trực AC:

\(1\left(x-\frac{3}{2}\right)-2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-4y+1=0\)

Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm 2 trung trực nên tọa độ là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x+2y-13=0\\2x-4y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{5}{2}\\y=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

e/ \(AB=\sqrt{5}\) ; \(AC=\sqrt{5}\) ; \(BC=\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A

\(\Rightarrow cosB=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow B=45^0\)