Câu 1 : Cho biểu thức \(P=\dfrac{x^3-3}{x^2-2x-3}-\dfrac{2x-6}{x+1}+\dfrac{x+3}{3-x}vớix\ne-1;x\ne3\)
a, Rút gọn biểu thức P
b,Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(m\left(m-2x\right)=x-8m\) có một nghiệm là x=3
Câu 3: Gọi Q(x) là đa thức thương trong phép chia đa thức \(A\left(x\right)=x^4+3x^3-4x^2-4x+12\) cho đa thức \(B\left(x\right)=x^2+x-1\) . Tìm GTNN của Q(x)
Câu 4: Cho các số thực a,b thỏa mãn \(a^2+b^2+ab-a+b+1=0\) . Tính giá trị biểu thức \(M=3a^2-2b^4-1\)
Câu 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử \(\left(x^2+x\right)\cdot\left(x^2+x+1\right)-6\)
Câu 6: Tìm số tự nhiên x để \(x^2+3x+6\) là số chính phương
Câu 1:
1:
a) Ta có: \(P=\dfrac{x^3-3}{x^2-2x-3}-\dfrac{2x-6}{x+1}+\dfrac{x+3}{3-x}\)
\(=\dfrac{x^3-3}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{\left(2x-6\right)\left(x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}-\dfrac{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\dfrac{x^3-3-2x^2+6x+6x-18-x^2-4x-3}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)
\(=\dfrac{x^3-3x^2+8x-24}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)
\(=\dfrac{x^2\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x^2+8\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)
\(=\dfrac{x^2+8}{x+1}\)
Câu 1:
a)
\(P=\frac{x^3-3}{(x+1)(x-3)}-\frac{2(x-3)^2}{(x+1)(x-3)}-\frac{(x+3)(x+1)}{(x-3)(x+1)}\)
\(=\frac{x^3-3-2(x-3)^2-(x+3)^2}{(x+1)(x-3)}\)
\(=\frac{x^3-3x^2+8x-24}{(x+1)(x-3)}=\frac{(x-3)(x^2+8)}{(x+1)(x-3)}=\frac{x^2+8}{x+1}\)
b) Với $x$ nguyên, để $P$ nguyên thì $\frac{x^2+8}{x+1}$ nguyên
Điều này xảy ra khi $x^2+8\vdots x+1$
$\Leftrightarrow x^2-1+9\vdots x+1$
$\Leftrightarrow (x-1)(x+1)+9\vdots x+1$
$\Leftrightarrow 9\vdots x+1$
$\Rightarrow x+1\in\left\{\pm 1;\pm 3;\pm 9\right\}$
$\Rightarrow x\in\left\{-2;0; -4; 2; -10; 8\right\}$ (đều thỏa mãn ĐKXĐ)
Câu 2:
Để $m(m-2x)=x-8m$ nhận $x=3$ là nghiệm thì:
$m(m-2.3)=3-8m$
$\Leftrightarrow m^2-6m+8m-3=0$
$\Leftrightarrow m^2-2m-3=0$
$\Leftrightarrow (m+1)(m-3)=0$
$\Leftrightarrow m=-1$ hoặc $m=3$
Thử lại thấy đều thỏa mãn. Vậy.......
Lời giải:
$A(x)=x^4+3x^3-4x^2-4x+12=x^2(x^2+x-1)+2x^3-3x^2-4x+12$
$=x^2(x^2+x-1)+2x(x^2+x-1)-5x^2-2x+12$
$=x^2(x^2+x-1)+2x(x^2+x-1)-5(x^2+x-1)+3x+7$
$=(x^2+2x-5)(x^2+x-1)+3x+7=(x^2+2x-5)B(x)+3x+7$
Nhìn vào đây ta có thể thấy $x^2+2x-5$ chính là đa thức thương trong phép chia $A(x)$ cho $B(x)$.
$\Leftrightarrow Q(x)=x^2+2x-5$
$Q(x)=(x^2+2x+1)-6=(x+1)^2-6\geq 0-6=-6$
Vậy $Q(x)_{\min}=-6$ khi $x=-1$
Câu 4:
$a^2+b^2+ab-a+b+1=0$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2ab-2a+2b+2=0$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+2ab)+(a^2-2a+1)+(b^2+2b+1)=0$
$\Leftrightarrow (a+b)^2+(a-1)^2+(b+1)^2=0$
Vì $(a+b)^2\geq 0; (a-1)^2\geq 0; (b+1)^2\geq 0$ với mọi $a,b$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
$(a+b)^2=(a-1)^2=(b+1)^2=0$
$\Leftrightarrow a=1; b=-1$. Thay vô $M$ thì:
$M=3.1^2-2(-1)^4-1=3-2-1=0$
Câu 5.
Đặt $x^2+x=a$ thì
$(x^2+x)(x^2+x+1)-6=a(a+1)-6$
$=a^2+a-6=a^2+3a-2a-6=a(a+3)-2(a+3)$
$=(a-2)(a+3)$
$=(x^2+x-2)(x^2+x+3)$
$=(x^2-x+2x-2)(x^2+x+3)$
$=[x(x-1)+2(x-1)](x^2+x+3)=(x+2)(x-1)(x^2+x+3)$
Câu 6:
Để $x^2+3x+6$ là scp thì $x^2+3x+6=a^2$ với $a\in\mathbb{N}$
$\Leftrightarrow 4x^2+12x+24=4a^2$
$\Leftrightarrow (4x^2+12x+9)+15=4a^2$
$\Leftrightarrow (2x+3)^2+15=(2a)^2$
$\Leftrightarrow 15=(2a)^2-(2x+3)^2=(2a-2x-3)(2a+2x+3)$
Đến đây thì do $2a-2x-3, 2a+2x+3$ đều là số nguyên và $2a+2x+3\geq 3; 2a+2x+3> 2a-2x-3$ với $a,x\in\mathbb{N}$ nên xảy ra 2 TH:
TH1: $2a-2x-3=1; 2a+2x+3=15$
TH2: $2a-2x-3=3; 2a+2x+3=5$
Ta thu được $x=2$ là đáp số duy nhất thỏa mãn.
