Question

Các bạn giúp mình nhé

Cho a>0 ; b>0 và a+b=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

a) A=a²+b²

b) B= \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\)

c) C=\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{a}\)

Answer 1

a) Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:

A= \(a^2+b^2\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Vậy Min A= \(\dfrac{1}{2}\) khi a=b=\(\dfrac{1}{2}\)

b) Ta có: B= \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\)

\(\Leftrightarrow\) B= \(\left(\dfrac{a^2}{b}+b\right)+\left(\dfrac{b^2}{a}+a\right)-\left(a+b\right)\) \(\geq\) \(2\sqrt{\dfrac{a^2}{b}.b}+2\sqrt{\dfrac{b^2}{a}.a}-a-b\) = \(2a+2b-a-b\) \(=a+b=1\)

Từ đó suy ra: \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\) \(\geq\) 1

Vậy Min B = 1 khi a=b=\(\dfrac{1}{2}\)