Question

BT: Cho a, b cùng dấu 

a) CMR: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Answer 1

a) Vì a,b cùng dấu 

=> \(\frac{a}{b}\ge0;\frac{b}{a}\ge0\)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)

b) \(P=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

Áp dụng bđt cô si cho hai số dương ta có:

\(2+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2+2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2+2=4\)

Vậy GTNN của P là 4