a) Ta có: \(B=\left(\frac{3}{x-3}-\frac{6x}{9-x^2}+\frac{x}{x+3}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{x+3}\right)\)
\(=\left(\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{6x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\right)\cdot\left(\frac{x+3-2}{x+3}\right)\)
\(=\frac{3x+9+6x+x^2-3x}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\cdot\frac{x+1}{x+3}\)
\(=\frac{x^2+6x+9}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\cdot\frac{x+1}{x+3}\)
\(=\frac{\left(x+3\right)^2\cdot\left(x+1\right)}{\left(x+3\right)^2\cdot\left(x-3\right)}\)
\(=\frac{x+1}{x-3}\)
b) ĐKXĐ: \(x\notin\left\{3;-3\right\}\)
Ta có: |x+5|=2
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+5=2\\x+5=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\left(loại\right)\\x=-7\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
Thay x=-7 vào biểu thức \(B=\frac{x+1}{x-3}\), ta được:
\(B=\frac{-7+1}{-7-3}=\frac{-6}{-10}=\frac{3}{5}\)
Vậy: \(\frac{3}{5}\) là giá trị của biểu thức \(B=\left(\frac{3}{x-3}-\frac{6x}{9-x^2}+\frac{x}{x+3}\right)\cdot\left(1-\frac{2}{x+3}\right)\) khi |x+5|=2
c) Để giá trị của B nguyên thì \(x+1⋮x-3\)
\(\Leftrightarrow x-3+4⋮x-3\)
\(\Leftrightarrow4⋮x-3\)
\(\Leftrightarrow x-3\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)
hay \(x\in\left\{4;2;5;1;7;-1\right\}\)(nhận)
Thay x=4 vào biểu thức \(B=\frac{x+1}{x-3}\), ta được:
\(B=\frac{4+1}{4-3}=\frac{5}{1}=5>0\)(nhận)
Thay x=2 vào biểu thức \(B=\frac{x+1}{x-3}\), ta được:
\(B=\frac{2+1}{2-3}=\frac{3}{-1}=-3< 0\)(loại)
Thay x=5 vào biểu thức \(B=\frac{x+1}{x-3}\), ta được:
\(B=\frac{5+1}{5-3}=\frac{6}{2}=3>0\)(nhận)
Thay x=1 vào biểu thức \(B=\frac{x+1}{x-3}\), ta được:
\(B=\frac{1+1}{1-3}=\frac{2}{-1}=-2< 0\)(loại)
Thay x=7 vào biểu thức \(B=\frac{x+1}{x-3}\), ta được:
\(B=\frac{7+1}{7-3}=\frac{8}{4}=2>0\)(nhận)
Thay x=-1 vào biểu thức \(B=\frac{x+1}{x-3}\), ta được:
\(B=\frac{-1+1}{-1-3}=\frac{0}{-4}=0\)(loại)
Vậy: để giá trị của B nguyên dương thì \(x\in\left\{4;5;7\right\}\)
