Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Minh Tuấn
Bài tập vận dụng: Cho các số thực dương CMR:

\(a.\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2yz}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + 2zx}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} + 2xy}} \ge 1\)

\(b.\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\)

Lam Ngo Tung
30 tháng 12 2019 lúc 20:33

a) Vì x;y;z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovsky : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) , ta được :

\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Vậy \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge1\left(ĐPCM\right)\)

b) Ta chứng minh bất đẳng thức phụ :\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ac\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ab-3ac-3bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ab-ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ab+ac\right)\)

Vì a,b,c > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovsky : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) , ta được :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)

\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ac\right)}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Vậy \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\left(ĐPCM\right)\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
MInemy Nguyễn
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Quang
Xem chi tiết