Question

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Các đường thẳng BM, DN cắt đường chéo AC tại P, Q.

a) AP=PQ=QC

b) Tứ giác MPNQ là hình gì

c) Xác định tỉ số \(\frac{CA}{CD}\)để MPNQ là hình chữ nhật

d) Xác định \(\widehat{ACD}\)để MPNQ là hình thoi

e) Tam giác ACD thỏa mãn điều kiện gì để MPNQ là hình vuông

Answer 1

a: Xét tứ giác BMDN có

BN//DM

BN=DM

Do đó: BMDN là hình bình hành

Suy ra: BM//DN

Xét ΔAQD có

M là trung điểm của AD

MP//QD

Do đó: P là trung điểm của AQ

=>AP=PQ(1)

Xét ΔCPB có

N là trung điểm của CB

NQ//PB

Do đó: Q là trung điểm của CP

=>AP=PQ=QC

b: Xét ΔAQD có AM/AD=AP/AQ

nên MP//QD và MP=QD/2

Xét ΔCPB có CQ/CP=CN/CB

nên QN//PB và QN=PB/2

Xét ΔOQD và ΔOBP có

góc DOQ=góc BOP

OD=OB

góc ODQ=góc OPB

Do đó: ΔOQD=ΔOBP

=>BP=QD

Ta có: BP+PM=BM

DQ+QN=DN

mà BM=DN; BP=QD

nên PM=QN

Xét tứ giác MPNQ có

MP//NQ
MP=NQ

DO đó: MPNQ là hình bình hành