Question

Bài 7: Cho phương trình ẩn x, tham số m: x² –4x –m² +3 =0 (1)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m.

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa x₂ = -5x₁.

Answer 1

\(pt:x^2-4x-m^2+3=0\left(1\right)\)

\(a.\Delta=\left(-4\right)^2-3.1.\left(3-m^2\right)=16-9+3m^2=3m^2+7>0\forall m\)

⇒ pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Vi-et ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\left(1\right)\\x_1.x_2=3-m^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(x_2=-5x_1\left(''\right)\)

Kết hợp :\(\left(1\right);\left(''\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\5x_1+x_2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x_1=-4\\x_1+x_2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\x_2=4-x_1=4-\left(-1\right)=5\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=-1;x_2=5\) vào (2)

\(\Rightarrow\left(-1\right).5=3-m^2\Leftrightarrow m^2=8\Leftrightarrow m=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}\)