Question

Bài 4 : Cho tam giác ABC có Â = 60o , AB < AC , đường cao BH ( H thuộc AC )

a) So sánh : góc ABC và góc ACB . Tính góc ABH

b) Vẽ AD là phân giác của góc A ( D thuộc BC ) . Vẽ BI vuông góc AD tại I. CM : tam giác AIB = tam giác BHA

c) Tia BI cắt AC ở E . CM tam giác ABE đều

d) Chứng minh DC > DB

Answer 1

a) Vì AB < AC => ^ACB < ^ ABC ( quan hệ giuữa góc và cạnh đối diện )

Xét \(\Delta\) ABH vuông tại H => ^ BAH + ^ABH = 90^o

=> ^ABH = 90 ^o - 60^o = 30^o

b) Ta có : ^A1 = ^A2 = 60^o : 2 = 30^o

Xét \(\Delta\)ABI vuông tại I ta có : ^A1 + ^ABI = 90^o

=> ^ABI = 90^o - 30^o = 60^o

Xét 2 \(\Delta\) vuông AIB và BHA có :

AB : cạnh chung

^ABI = ^BAH ( = 60^o)

=> \(\Delta\)AIB = \(\Delta\)BHA ( cạnh huyền - góc nhọn )

c) Xét 2 \(\Delta\) vuông AIB và AIE có :

^A1 = ^A2 (gt)

AI : cạnh chung

=> \(\Delta\)AIB = \(\Delta\)AIE ( cạnh góc vuông- góc nhọn )

=> AB = AE ( 2 cạnh tương ứng )

=> \(\Delta\)ABE cân

Mà ^BAE = 60 ^o

=> \(\Delta\)BAE đều .

d) Xét \(\Delta\) ADB và \(\Delta\)ADE có :

AB = AE (cmt)

AD : cạnh chung

^A1 = ^A2 ( gt)

=> \(\Delta\) ADB = \(\Delta\)ADE ( c - g - c )

=> BD = ED ( 2 cạnh t/ứng) ; ^ABD = ^AED ( 2 góc t/ứng)

Mà ^ AED + ^DEC = 180^o ( kề bù )

^ABD + ^ B1 = 180^o ( kề bù )

=> ^B1 = ^ DEC

Mà ^B1 > ^ C ( vì ^B1 là góc ngoài tại B của tam giác ABC)

=> ^DEC > ^C

=> DC > DE ( quan hệ giữa cạnh và góc đối diện )

Mà DE = BD => BD < DC.

Answer 2

a) Ta có: AB < AC (gt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ACB}< \widehat{ABC}\) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

\(\Delta ABH\) vuông tại H

\(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^o\)

\(\widehat{ABH}=90^o-\widehat{BAH}=90^o-60^o\)

Vậy: \(\widehat{ABH}=30^o\)

b) Ta có: \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\widehat{\dfrac{BAC}{2}}=\dfrac{60^o}{2}=30^o\)

Xét hai tam giác vuông AIB và BHA có:

AB: cạnh huyền chung

\(\widehat{A_1}=\widehat{ABH}=30^o\)

Vậy: \(\Delta AIB=\Delta BHA\left(ch-gn\right)\)

c) \(\Delta AIE\) vuông tại I

\(\widehat{A_2}+\widehat{AEI}=90^o\)

\(\widehat{AEI}=90^o-\widehat{A_2}=90^o-30^o\)

Vậy: \(\widehat{AEI}=60^o\) (1)

Mà \(\widehat{BAE}=60^o\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\Delta ABE\) là tam giác đều

d) Ta có: \(\widehat{ADC}\) là góc ngoài tại đỉnh D của \(\Delta ABD\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{ADC}>\widehat{ABD}\) (góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó)

\(\Rightarrow\) AC > AD (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

\(\Rightarrow\) DC > DB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của chúng).