Question

Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại A, AM là trung tuyến. I là trung điểm AC a) Chứng minh tứ giác ABMI là hình thang vuông.

b) D đối xứng M qua I. Chứng minh tứ giác ADCM là hình thoi

c) Kẻ MHL AB, IH cắt AM tại O, CO cắt IM tại K. Chứng minh: DK = 2KM

Answer 1

a: Xét ΔABC có

M,I lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>MI là đường trung bình của ΔABC

=>MI//AB và \(MI=\dfrac{AB}{2}\)

Xét tứ giác ABMI có MI//AB

nên ABMI là hình thang

Hình thang ABMI có AB\(\perp\)AI

nên ABMI là hình thang vuông

b: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

Xét tứ giác AMCD có

I là trung điểm chung của AC và MD

=>AMCD là hình bình hành

Hình bình hành AMCD có MA=MC

nên AMCD là hình thoi

c: AMCD là hình thoi

=>AC\(\perp\)MD tại I

Xét tứ giác AHMI có

\(\widehat{AHM}=\widehat{AIM}=\widehat{HAI}=90^0\)

=>AHMI là hình chữ nhật

=>AM cắt HI tại trung điểm của mỗi đường và AM=HI

=>O là trung điểm chung của AM và HI

Xét ΔCAM có

CO,MI là các đường trung tuyến

CO cắt MI tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔCAM

Xét ΔCAM có

MI là đường trung tuyến

K là trọng tâm của ΔCAM

Do đó: \(MK=\dfrac{2}{3}\cdot MI=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot MD=\dfrac{1}{3}MD\)

Ta có: MK+KD=MD

=>\(KD+\dfrac{1}{3}MD=MD\)

=>\(KD=\dfrac{2}{3}MD\)

=>\(KD=2\cdot\dfrac{1}{3}MD=2\cdot MI\)

Answer 2

giúp mình nha