Question

Bài 2: Tìm số tự nhiên k để dãy số k+1, k+2, k+3,..., k+10 chứa nhiều số nguyên tố nhất.

Answer 1

-Xét k = 0 => Dãy có 4 số nguyên tố.

-Xét k = 1 => Dãy có 5 số nguyên tố.

-Xét \(k\ge2\).Khi đó, ta có 2TH sau:

+)Với k lẻ, ta có \(k+1.k+3,k+5,k+7,k+9\) là các số chẵn và lớn hơn 2 => là hợp số (1)

+)Với k chẵn, ta có \(k+2,k+4,k+6,k+8,k+10\) là các số chẵn và chúng lớn hơn 2 => là hợp số (2)

=> Cả 2TH đều có 5 hợp số.

- Xét \(k⋮3\) => \(k+3,k+6,k+9\) là các số chia hết cho 3 và lớn hơn 3 => là hợp số.

+) Với TH (1) thì ta có 6 hợp số => loại

+) Với TH (2) thì ta có 6 hợp số => loại

- Xét \(k\equiv1\left(mod3\right)\) => \(k+2,k+5,k+8\) là các số chia hết cho 3 và lớn hơn 3 => là hợp số

Chứng minh tương tự, ta có (loại)

TH \(k\equiv2\left(mod3\right)\) bạn làm tương tự là được nhá.

Vậy \(k=1\)