Bài 2. Phân tích các đa thức thành nhân tử . a) x³ + 2x\(^2\)y + xy² -9x b/ 2x -2y – x² + 2xy -y² . c/ x\(^4\) – 2x² . d/ x\(^4\) + 4 .
Bài 3. Một phân số có tử bé hơn mẫu là 11. Nếu tăng tử lên 3 đơn vị và giảm mẫu đi 4 đơn vị thì được một phân số bằng \(\frac{3}{4}\) . Tìm phân số ban đầu.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D. a/ Chứng minh E đối xứng với M qua AB. b/ Tứ giác AEMC, AEBM là hình gì ? Vì sao ? c/ Cho BC = 2cm. Tính chu vi tứ giác AEBM. d/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì AEBM là hình vuông ? .
Bài 5. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng. a) \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) b)\(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\ge6\)
Bài 2 :
a, Ta có : \(x^3+2x^2y+xy^2-9x\)
\(=x\left(x^2+2xy+y^2-9\right)\)
\(=x\left(\left(x+y\right)^2-9\right)\)
\(=x\left(x+y-3\right)\left(x+y+3\right)\)
b, Ta có : \(2x-2y-x^2+2xy-y^2\)
= \(2\left(x-y\right)-\left(x-y\right)^2\)
\(=\left(x-y\right)\left(2-x+y\right)\)
c, Ta có : \(x^4-2x^2\)
\(=x^2\left(x^2-2\right)\)
d, Ta có : \(x^4+4\)
\(=x^4-4x^2+4x^2+4\)
\(=\left(x+2\right)^2-4x^2\)
\(=\left(x+2-2x\right)\left(x+2+2x\right)\)
Bài 3 :
- Gọi mẫu số của phân số đó là x ( x > 11 )
-> Tử số của phân số đó là : x -11
-> Phân số đó là : \(\frac{x-11}{x}\)
Theo đề bài nếu tăng tử lên 3 đơn vị và giảm mẫu đi 4 đơn vị thì được một phân số bằng 3/4 nên ta có phương trình : \(\frac{x-11+3}{x-4}=\frac{3}{4}\)
=> \(4\left(x-8\right)=3\left(x-4\right)\)
=> \(4x-32-3x+12=0\)
=> \(x=20\) ( TM )
Vậy phân số cần tìm đó là : \(\frac{9}{20}\)
5/a/Cho bạn 2 cách lun:
C1: Đặt : \(b+c=x>0,a+c=y>0,a+b=z>0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z-x}{2}\\b=\frac{x+z-y}{2}\\c=\frac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.\).Vậy ta có:
\(VT=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(\Leftrightarrow VT=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1-1-1\right)\)
Áp dụng Cosi cho các số nghịch đảo ta có:
\(VT\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-1-1-1\right)=\frac{3}{2}\left(ĐPCM\right)\)
C2: Đặt VT=S, và\(M=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b},N=\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}\)
Ta sẽ có: M+N=3. Mặt khác theo Cosi ta có:
\(M+S=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+c}+\frac{c+a}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}=3}\)
\(N+S=\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{a+b}\ge3\sqrt[3]{...}=3\)
Vậy M+N+2S\(\ge6\)
\(\Leftrightarrow2S=3\RightarrowĐPCM\)
b/
