Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Goị D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D
a. Chứng minh rằng E đối xứng với M qua AB
b. Gọi H là trung điểm của AM. Chứng minh rằng C đối xứng với E qua H
c. Cho BC= 5cm, AC= 4 cm. Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEBM
d. Tìm điều kiện của ▲ABC để AEBM là hình vuông. Khi đố tính diện tích △ABC với BC= 5cm
a) Xét ΔABC vuông tại A có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC(gt)
nên \(AM=\frac{BC}{2}=CM=MB\)
Xét ΔAMB có AM=MB(cmt)
nên ΔAMB cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
mà MD là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy AB(do D là trung điểm của AB)
nên MD cũng là đường cao ứng với cạnh đáy AB(định lí tam giác cân)
⇒AB⊥MD hay AB⊥ME(1)
Ta có: D∈AB(gt)
mà D là trung điểm của ME(do M và E đối xứng nhau qua D)
nên AB đi qua trung điểm D của ME(2)
Từ (1),(2) suy ra AB là đường trung trực của ME
hay E và M đối xứng nhau qua AB(định nghĩa hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng)
b)Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC(do AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
D là trung điểm của AB(gt)
Do đó: MD là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MD//AC và \(MD=\frac{AC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: \(MD=\frac{AC}{2}\)(cmt)
⇒2MD=AC
mà 2MD=ME(do D là trung điểm của ME)
nên AC=ME
Xét tứ giác ACME có AC=ME(cmt) và AC//ME(AC//MD,E∈MD)
nên ACME là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒hai đường chéo CE và AM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường(định lí hình bình hành)
mà H là trung điểm của AM(gt)
nên H là trung điểm của CE
hay C và E đối xứng với nhau qua H(định nghĩa hai điểm đối xứng nhau qua một điểm)
c) Xét tứ giác AMBE có
D là trung điểm của đường chéo AB(gt)
D là trung điểm của đường chéo ME(do M và E đối xứng nhau qua D)
Do đó: AMBE là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
mà hai đường chéo AB và ME vuông góc với nhau(cmt)
nên AMBE là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Xét ΔABC vuông tại A có đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC(gt)
nên \(AM=\frac{BC}{2}=CM=MB=2,5cm\)
Xét ΔABC vuông tại A có
\(BC^2=AB^2+AC^2\)(định lí pytago)
hay \(AB^2=BC^2-AC^2\)
⇒\(AB^2=5^2-4^2=9\)
⇒\(AB=\sqrt{9}=3cm\)
mà \(AD=\frac{AB}{2}\)(do D là trung điểm của AB)
nên \(AD=\frac{AB}{2}=\frac{3}{2}=1,5cm\)
Áp dụng định lý pytago vào ΔMDA vuông tại D, ta được
\(MA^2=MD^2+AD^2\)
hay \(MD=\sqrt{MA^2-AD^2}=\sqrt{2,5^2-1,5^2}=2cm\)
Ta có: 2MD=ME(do D là trung điểm của ME)
hay 2*2=ME=4cm
Chu vi hình thoi AMBE là
p=AM*4=2,5*4=10cm
Diện tích hình thoi AMBE là
\(S=\frac{ME\cdot AB}{2}=\frac{4\cdot3}{2}=6cm\)
Chu vi hình thoi AMBE là
p=AM*4=2,5*4=10cm
Diện tích hình thoi AMBE là
\(S=\frac{AB\cdot ME}{2}=\frac{3\cdot4}{2}=6cm\)
Vậy:
-Chu vi tứ giác AEBM khi BC=5cm;AC=4cm là 10cm
-Diện tích tứ giác AEBM khi BC=5cm;AC=4cm là 6cm
d)Hình thoi AEBM là hình vuông khi và chỉ khi \(\widehat{AMB}=90độ\)
⇒AM⊥BC
Xét ΔABC vuông tại A có
AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)
AM là đường cao ứng với cạnh huyền BC(do AM⊥BC)
Do đó: ΔABC vuông cân tại A
Vậy: Khi ΔABC vuông cân tại A thì hình thoi AEBM là hình vuông
Diện tích ΔABC vuông cân tại A khi BC=5cm là
\(S=\frac{BC\cdot AM}{2}=\frac{5\cdot2,5}{2}=\frac{7,5}{2}=3,75cm\)
Vậy: Khi Tứ giác AEBM là hình vuông và BC=5cm thì diện tich ΔABC là 3,75cm
