Bài 1:Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, các tia phân giác của các góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E
a) Chứng minh DE // BC
b) Cho BC = a, AM = m. Tính độ dài DE
c) Tìm tập hợp các giao diểm I của AM và DE nếu ABC có BC cố định, AM = m không đổi
d) ABC có điều kiện gì thì DE là đường trung bình của nó
a: Xét ΔAMB có MD là phân giác của góc AMB
nên \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AM}{MC}\left(1\right)\)
Xét ΔAMC có ME là phân giác của góc AMC
nên \(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AM}{MC}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)
Xét ΔABC có \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)
nên DE//BC
b: Gọi I là giao điểm của AM và DE
Xét ΔABM có DI//BM
nên \(\dfrac{DI}{BM}=\dfrac{AI}{AM}\left(3\right)\)
Xét ΔAMC có IE//MC
nên \(\dfrac{IE}{MC}=\dfrac{AI}{AM}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(\dfrac{DI}{BM}=\dfrac{IE}{MC}\)
mà BM=MC
nên DI=IE
=>I là trung điểm của DE
Xét ΔAMB có MD là phân giác
nên \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AD}{DB}\)
=>\(\dfrac{DB}{AD}=\dfrac{MB}{AM}\)
=>\(\dfrac{DB+AD}{AD}=\dfrac{MB+AM}{AM}\)
=>\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{\dfrac{a}{2}+m}{m}\)
=>\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{m}{\dfrac{a}{2}+m}=m:\dfrac{a+m}{2}=\dfrac{2m}{a+m}\)
XétΔABC có DE//BC
nên \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}\)
=>\(\dfrac{DE}{a}=\dfrac{2m}{a+m}\)
=>\(DE=\dfrac{2ma}{a+m}\)
d: Để DE là đường trung bình của ΔABC thì D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC
Xét ΔMAB có
MD là đường trung tuyến
MD là đường phân giác
Do đó: ΔMAB cân tại M
=>MA=MB
Xét ΔMAC có
ME là đường phân giác
ME là đường trung tuyến
Do đó: ΔMAC cân tại M
=>MA=MC
mà MA=MB
nên MB=MC
=>M là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
\(AM=\dfrac{BC}{2}\)
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>\(\widehat{BAC}=90^0\)
