Bài 1:Cho tam giác ABC có AB<AC. Gọi M là trung điểm của BC .Trên tia đối của MA lấy điểm E sao cho AM=ME.
a.Chứng minh tam giác AMB= tam giác EMC
b.Chứng minh AB song song EC
c.Vẽ các điểm D,F sao cho B là trung điểm của AD,C là trung điểm của AF.Chứng minh tam giác BCE= tam giác FEC
d.Chứng minh ba điểm D,E,F thẳng hàng
Ta có hình vẽ:
a) Xét Δ AMB và Δ EMC có:
BM = CM (gt)
AMB = EMC (đối đỉnh)
AM = ME (gt)
Do đó, Δ AMB = Δ EMC (c.g.c) (đpcm)
b) Vì Δ AMB = Δ EMC (câu a) => ABM = ECM (2 góc tương ứng)
Mà ABM và ECM là 2 góc so le trong nên AB // EC (đpcm)
c) Vì AB // EC (câu b) => CAB = FCE (đồng vị)
Δ AMB = Δ EMC (câu a) => AB = EC (2 cạnh tương ứng)
Xét Δ ABC và Δ CEF có:
AC = CF (gt)
BAC = ECF (cmt)
AB = EC (cmt)
Do đó, Δ ABC = Δ CEF (c.g.c) (1)
Dễ dàng => Δ AMC = Δ EMB (c.g.c)
=> ACM = EBM (2 góc tương ứng)
Mà ACM và EBM là 2 góc so le trong nên AC // BE
Xét Δ ABC và Δ ECB có:
ABC = BCE (vì AB // EC, ABC và BCE là 2 góc so le trong)
BC là cạnh chung
ACB = EBC (vì AC // BE; ACB và EBC là 2 góc so le trong)
Do đó, Δ ABC = Δ ECB (g.c.g) (2)
Từ (1) và (2) => Δ CEF = Δ ECB hay Δ FEC = Δ BCE (đpcm)
d) Vì Δ ABC = ECB (câu c) nên AC = BE (2 cạnh tương ứng)
Xét Δ ABC và Δ BDE có:
AB = BD (gt)
BAC = DBE (vì AC // BE, BAC và DBE là 2 góc đồng vị)
AC = BE (cmt)
Do đó, Δ ABC = Δ BDE (c.g.c)
Mà Δ ABC = Δ ECB (câu b) nên Δ BDE = Δ ECB
=> BED = EBC (2 góc tương ứng)
Mà BED và EBC là 2 góc so le trong nên BC // DE (*)
Vì Δ ECB = Δ CEF (câu c) nên BCE = FEC (2 góc tương ứng)
Mà BCE và FEC là 2 góc so le trong nên BC // EF (**)
TỪ (*) và (**) => DE trùng với EF hay 3 điểm D, E, F thẳng hàng (đpcm)
a. Xét tam giác AMB và EMC có:
BM=MC
Góc AMB=góc CMA
AM=ME
Suy ra:tam giác AMB= tam giácEMC(c.g.c)(đpcm)
b.Ta có :tam giác AMB= tam giác EMC(cmt) => góc BAM= góc CME(hai góc tương ứng)=>AB//CE(đpcm)
c.Vì AB//CE=>CAB=FCE(hai góc đồng vị)
Mà tam giác AMB=EMC=>AB=EC
Xét tam giác ABC và CEF có:
AC=CF(gt)
Góc BAC=ECF(cmt)
AB=CE(cmt)
=>tam giácABC=CEF(c.g.c)(1)
=>tam giác AMC = ACM=EBM(hai góc tương ứng)
Mà ACM=EBM=>AC//BE
Xét tam giác ABC và ECB có:
Góc CAB=BEC(slt)
BC là cạnh chung
Góc BCE=CBA(slt)
=>tam giác ABC=ECB(g.c.g)(2)
Từ (1) và(2)=>tam giác FEC=BCE(đpcm)
d.Vì tam giác ABC=ECB(cm câu c)nên AC=BE(hai góc tương ứng )
Xét tam giác ABC và DBE có:
AB=BC(gt)
Góc BAC=DBE(đv)
AC=BE(cmt)
=>tam giác ABC=DBE(c.g.c)
Mà tam giác ABC=ECB(cm câu b)=>tam giác BDE=ECB
=>Góc BED=EBC
Ta lại có :góc BED= EBC(slt) nên BC//DE(1)
Vì tam giác ECB=CEF (cm câu c)nên góc BCE=FEC(hai góc tương ứng )
Mặt khác :Góc BCE=FEC(slt)=>BC//EF(2)
Từ (1) và (2)=> DE trùng với EF <=> D,E,F thẳng hàng(đpcm)
