Bài 1: Giải các pt sau:
a) \(x\sqrt{x^2-x+1}+2\sqrt{3x+1}=x^2+x+3\)
b)\(\sqrt{x^2+3x+4}=\frac{4x^2+7x+8}{4x+1}\)
Bài 2:
a)Giải hệ pt sau:\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+1=3y-y^2\\\left(x^2+1\right)\left(x+y-2\right)=-2y\end{matrix}\right.\)
b)Cho hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-2xy+x-y-2=0\\mx^2-4my+1=0\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ pt có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thoả mãn đk \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)
CMR:\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\)
1.
a. ĐKXĐ: ...
\(x\sqrt{x^2-x+1}\le\frac{x^2+x^2-x+1}{2}=\frac{2x^2-x+1}{2}\)
\(2\sqrt{3x+1}\le\frac{4+3x+1}{2}=\frac{3x+5}{2}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{2x^2-x+1}{2}+\frac{3x+5}{2}=x^2+x+3=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{x^2-x+1}\\2=\sqrt{3x+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\)
b.
ĐKXĐ: ....
\(\Leftrightarrow\left(4x+1\right)\sqrt{x^2+3x+4}=4x^2+7x+8\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+3x+4\right)-\left(4x+1\right)\sqrt{x^2+3x+4}+2x^2+x=0\)
Đặt \(\sqrt{x^2+3x+4}=t>0\)
\(\Rightarrow2t^2-\left(4x+1\right)t+2x^2+x=0\)
\(\Delta=\left(4x+1\right)^2-8\left(2x^2+x\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{4x+1-1}{4}=x\\t=\frac{4x+1+1}{4}=\frac{2x+1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+3x+4}=x\left(x\ge0\right)\\2\sqrt{x^2+3x+4}=2x+1\left(x\ge-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+3x+4=x^2\\4\left(x^2+3x+4\right)=\left(2x+1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{4}{3}< 0\left(l\right)\\x=-\frac{15}{8}< -\frac{1}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy pt đã cho vô nghiệm
2.
a.
- Với \(y=0\) không phải nghiệm
- Với \(y\ne0\) hệ tương đương:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2+1}{y}+x=3-y\\\left(\frac{x^2+1}{y}\right)\left(x+y-2\right)=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2+1}{y}+x+y-2=1\\\left(\frac{x^2+1}{y}\right)\left(x+y-2\right)=-2\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, \(\frac{x^2+1}{y}\) và \(x+y-2\) là nghiệm của pt:
\(t^2-t-2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=2\end{matrix}\right.\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2+1}{y}=-1\\x+y-2=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow...\) bạn tự giải
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2+1}{y}=2\\x+y-2=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow...\)
2b.
\(x^2+y^2-2xy+x-y-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+x-y-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(x-y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y=1\\x-y=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x-1\\y=x+2\end{matrix}\right.\)
Thế xuống pt dưới:
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}mx^2-4m\left(x-1\right)+1=0\\mx^2-4m\left(x+2\right)+1=0\end{matrix}\right.\)
Bây giờ là bài toán \(a\ne0;\Delta>0\) cơ bản, bạn tự giải
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{ab+bc+ca}=a^2+b^2+c^2\)
Lại có:
\(6=a+b+c+ab+bc+ca\le a+b+c+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-18\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c+6\right)\left(a+b+c-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\ge\frac{1}{3}.3^2=3\)
