Question

Bài 1: Cho tứ giác ABCD; gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA.

a/ Cm: MNPQ là hình bình hành

b/ 2 đường chéo AC và BD của tứ giác cần có thêm điều kiện gì để MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH

1/ CM: AH . BC = AB . AC

2/ Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MN vuông góc với AB, MP vuông góc với AC ( N thuộc AB, P thuộc AC). Tứ giác ANMP là hình gì ?

3/ Tính số đo góc NHP

4/ Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất

Answer 1

CẦN GẤP, MAI NỘP RỒI Ạ

Answer 2

Bài 1:

a) Xét ΔADC có

Q là trung điểm của AD(gt)

P là trung điểm của CD(gt)

Do đó: QP là đường trung bình của ΔADC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒QP//AC và \(QP=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của BC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MN//AC và \(MN=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra QP//MN và QP=MN

Xét tứ giác MNPQ có QP//MN(cmt) và QP=MN(cmt)

nên MNPQ là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Hình bình hành MNPQ trở thành hình chữ nhật khi \(\widehat{QMN}=90^0\)

hay \(QM\perp MN\)

Ta có: MN//AC(cmt)

\(QM\perp MN\)(cmt)

Do đó: QM⊥AC(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔADB có

Q là trung điểm của AD(gt)

M là trung điểm của AB(gt)

Do đó: QM là đường trung bình của ΔADB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒QM//DB và \(QM=\frac{DB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: QM⊥AC(cmt)

QM//DB(cmt)

Do đó: AC⊥DB(Định lí 2 từ vuông góc tới song song)

Vậy: Khi tứ giác ABCD có thêm điều kiện AC⊥DB thì MNPQ là hình chữ nhật

Hình bình hành MNPQ trở thành hình thoi khi MQ=MN

mà \(MQ=\frac{DB}{2}\)(cmt)

và \(MN=\frac{AC}{2}\)(cmt)

nên DB=AC

Vậy: Khi tứ giác ABCD có thêm điều kiện AC=BD thì MNPQ là hình thoi

Hình bình hành MNPQ trở thành hình vuông khi \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{QMN}=90^0\\MQ=MN\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=BD\\AC\perp BD\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi tứ giác ABCD có thêm điều kiện AC=BD và AC⊥BC thì MNPQ trở thành hình vuông