Question

Bài 1: Cho \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)=xyz\). CMR: \(x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=\left(x+y+z\right)^{2013}\)

Answer 1

Từ giả thiết , ta có :

( x + y + z)( xy + yz + xz ) = xyz

x( xy + yz + xz) + y( xy + yz + xz ) + z( xy + yz + xz ) - xyz = 0

x²y + xyz + x²z + xy² + y²z + xyz + xyz + yz² + xz² - xyz = 0

x²y + x²z + xy² + y²z + yz² + xz² + 2xyz = 0

xy( x + y) + xz( x + z) + yz( y + z) + 2xyz = 0

xy( x + y + z) + xz( x + y + z) + yz( y + z) = 0

( x + y + z)x( y + z) + yz( y + z) = 0

( y + z)( x² + xy + xz + yz ) = 0

( y + z)[ x( x + y ) + z( x + y) ] = 0

( y + z)( y + x )( x + z) = 0

Suy ra :

* x + y = 0 --> x = - y . Thay vào đẳng thức cần chứng minh , ta có

( - y)²⁰¹³ + y²⁰¹³ + z²⁰¹³ = ( - y + y + z)²⁰¹³

Khi đó , ta có : z²⁰¹³ = z²⁰¹³ , luôn đúng

* Tương tự , thử với các trường hợp khác : y = - z ; x = - z

Vậy , đảng thức được chứng mình

Answer 2

Ta có (x+y+z)(xy+yz+xz)=xyz

<=>\((x+y+z)(\frac{xyz}{z}+\frac{xyz}{y}+\frac{xyz}{x})=xyz \)

<=>(x+y+z)(\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=1 \)

<=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z} \)

<=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0 \)

<=>\(\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z(x+y+z)} \)

<=>\((x+y)(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z(x+y+z)}) \)

<=>\((x+y)(\frac{xz+yz+z^2+xy}{xyz(x+y+z)} \)

<=>\((x+y)(y+z)(x+z)(\frac{1}{xyz(x+y+z)} )\)

=>x=-y

hoặc y=-z

hoặc x=-z

Thay vào Pt => đpcm