Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm:(đề phải z nhé,bạn viết thiếu r,bđt chỉ áp dụng zới số dương)
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\a+c\ge2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\\\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\\\dfrac{a+c}{2}\ge\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\)
Suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}b\ge\sqrt{ab}\\\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}c\ge\sqrt{bc}\\\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}c\ge\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo 3 vế bđt ta có:
\(\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}c+\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
Hay \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\left(đpcm\right)\)
Cách 2: Biến đổi tương đương :
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(2a+2b+2c\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ac}+a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\) (Luôn đúng)
Vì các phép biến đổi trên là tương đương nên ta có đpcm
