Câu 1:
Ta có \(2^n⋮̸3\) và \(2^n-1>3\) \(\forall n>2\)
Mặt khác, 3 số \(2^n-1\); \(2^n\); \(2^n+1\) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong 3 số, luôn có 1 số chia hết cho 3
Do \(2^n⋮̸3\Rightarrow\left(2^n-1\right)⋮3\) hoặc \(\left(2^n+1\right)⋮3\Rightarrow\) luôn có ít nhất một trong 2 số này là hợp số \(\Rightarrow\) chúng không thể cùng là số nguyên tố
Câu 2:
Nếu \(p=2\Rightarrow8p-1\) là hợp số
Nếu \(p=3\Rightarrow8p+1\) là hợp số
Nếu \(p>3\), do p là số nguyên tố \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}p=3k+1\\p=3k+2\end{matrix}\right.\)
- TH1: \(p=3k+1\Rightarrow8p+1=8\left(3k+1\right)+1=24k+9⋮3\) là hợp số
- TH2: \(p=3k+2\Rightarrow8p-1=8\left(3k+2\right)-1=24k+15⋮3\) là hợp số
Vậy:
Nếu \(p=2\Rightarrow8p-1\) là hợp số
Nếu \(p=3\Rightarrow8p+1\) là hợp số
Nếu \(p=3k+1\) thì \(8p+1\) là hợp số
Nếu \(p=3k+2\) thì \(8p-1\) là hợp số
Ta có 2n⋮/3 và 2n−1>3 ∀n>2
Mặt khác, 3 số 2n−1; 2n; 2n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong 3 số, luôn có 1 số chia hết cho 3
Do 2n⋮/3⇒(2n−1)⋮3 hoặc (2n+1)⋮3⇒ luôn có ít nhất một trong 2 số này là hợp số ⇒ chúng không thể cùng là số nguyên tố
Câu 2:
Nếu p=2⇒8p−1 là hợp số
Nếu p=3⇒8p+1 là hợp số
Nếu p>3, do p là số nguyên tố ⇒[p=3k+1p=3k+2
- TH1: p=3k+1⇒8p+1=8(3k+1)+1=24k+9⋮3là hợp số
- TH2: p=3k+2⇒8p−1=8(3k+2)−1=24k+15⋮3là hợp số
Vậy:
Nếu p=2⇒8p−1 là hợp số
Nếu p=3⇒8p+1 là hợp số
Nếu p=3k+1 thì 8p+1 là hợp số
Nếu p=3k+2 thì 8p−1 là hợp số
